☛ Lien vers les équations différentielles

Énoncé

On considère la fonction \(f\)  définie sur \(\mathbb{R}\)  par \(f(x)=2\text{e}^{-x}-5\text{e}^{3x}\) .

1. Calculer, pour tout réel \(x\) , \(f'(x)\)  ainsi que \(f''(x)\) .

2. Montrer que, pour tout réel \(x\) , \(f''(x)-2f'(x)-3f(x)=0\) .

Remarque

On dit alors que la fonction  \(f\)  est solution de l'équation différentielle \(y''-2y'-3y=0\) .

Solution

1. \(\forall x\in \mathbb{R},\ f'(x)=-2\text{e}^{-x}-15\text{e}^{3x}\) .
\(\forall x\in \mathbb{R},\ f''(x)=2\text{e}^{-x}-45\text{e}^{3x}\) .

2.  \(\forall x \in \mathbb{R},\ f''(x)-2f'(x)-3f(x)=2\text{e}^{-x}-45\text{e}^{3x}-2\left(-2\text{e}^{-x}-15\text{e}^{3x}\right)-3\left(2\text{e}^{-x}-5\text{e}^{3x}\right)\)

\(f''(x)-2f'(x)-3f(x)=2\text{e}^{-x}-45\text{e}^{3x}+4\text{e}^{-x}+30\text{e}^{3x}-6\text{e}^{-x}+15\text{e}^{3x}\)

\(f''(x)-2f'(x)-3f(x)=0\) .